大学で勉強したことの簡単なまとめ：信号解析基礎 - 学生時代に頑張ったことが何もない

大学の講義の試験を前日や当日の詰め込み勉強だけで乗り切るという人は多いと思います．自分もその類の人なのですが，そうやって勉強した知識は短期記憶でしかなく試験が終わるとあっという間に消えてしまいもったいないので，講義内容をごく簡単にでもまとめることで知識を長期記憶として定着しやすくしようと試みます．

信号解析基礎

周期波形のフーリエ級数展開：x(t)が周期Tを持つとき，x(t)は $\omega=n\omega_0=n \frac{2\pi}{T}$ の正弦波の和で表すことができる．
$\array{rcl$x(t)&=&\frac{a_0}{2}+\bigsum_{n=1}^{\infty}{\{a_n cos n \omega_0 t + b_n sin n \omega_0 t\}} \\ &=&\bigsum_{n=-\infty}^{\infty}{\{\alpha_n e^{jn \omega_0 t}\}}}$
$\alpha_n = \frac{1}{T} \bigint_{-T/2}^{T/2}{x(t)e^{-jn \omega_0 t dt}}$

非周期波形のフーリエ変換：
$\{\array{rcl$X(\omega)&=&\bigint_{-\infty}^{\infty}{x(t)e^{-j \omega t}dt} \\ x(t)&=&\frac{1}{2\pi}\bigint_{-\infty}^{\infty}{X(\omega)e^{j \omega t}d\omega}}$
$\{\array{rcl$X(f)&=&\bigint_{-\infty}^{\infty}{x(t)e^{-j 2\pi f t}dt} \\ x(t)&=&\bigint_{-\infty}^{\infty}{X(f)e^{j 2\pi f t}df}}$

Persevalの等式：
$\frac{1}{T}\bigint_{-T/2}^{T/2}{|x(t)|^2 dt}=\bigsum_{-\infty}^{\infty}{|\alpha_n|^2}$
$\bigint_{-\infty}^{\infty}{|x(t)|^2 dt}=\bigint_{-\infty}^{\infty}{|X(f)|^2 df}$